非线性对摆运动的影响分析How nonlinearity affects a pendulum

单摆的运动方程是一个微分方程

其中 g 是重力加速度，ℓ 是摆长。在普通物理课程中讲授这一内容时，教师通常会立即强调“我们只关心 θ 很小的情况”，因此可以将方程改写为

问题

这引发了许多疑问，至少应该如此。

首先，正弦函数是非线性的，这使得该微分方程成为非线性方程。非线性单摆方程无法用普通物理课程中学生所学的数学方法求解。虽然存在闭式解，但前提是必须将“闭式”的定义扩展到超出学生在微积分课程中所接触的基本初等函数范围。

其次，之所以采用这种近似，是因为当 θ 很小时有 sin θ ≈ θ。这没错，但其中微妙之处值得深入探讨。相关文章对此已有详细分析。

第三个问题没有简单的答案，尽管人们常常给出看似简单的回答。教师可能会临时编造一个答案，比如“小于10度”之类。但要给出更严谨的回答，需要先回答第四个问题。

我在几年前的一篇文章中曾讨论过非线性对解的影响。本文将在那篇文章的基础上进一步展开。

周期更长

非线性单摆方程与线性方程的主要区别在于：非线性方程的解具有更长的周期。线性方程的解是余弦函数。求解过程可以确定余弦函数的频率、振幅和相位偏移，但从定性角度看，它本质上就是一个余弦波。而对应的非线性方程（使用 sin θ 而非 θ）的解并非精确的余弦函数，但其波形与余弦极为相似，只是周期略长一些 [1]。

好的，非线性单摆的周期确实更长，但具体长多少呢？其周期被放大了一个因子 f(θ₀)，其中 θ₀ 是初始位移角。

你可以在我之前的文章中找到精确答案。该答案依赖于一种称为“第一类完全椭圆积分”的特殊函数，但一个很好的近似表达式是

前述文章将该近似值与精确函数进行了比较。

调整周期的线性解法

由于非线性单摆方程大致等同于周期更长的线性方程，因此可以通过求解周期加长的线性方程来近似非线性方程的解。这种近似有多准确？

让我们以 θ₀ = 60° = π/3 弧度为例。此时 sin θ₀ = 0.866，而 θ₀ 本身（以弧度计）为 1.047，显然不能简单认为 sin θ₀ ≈ θ₀。为简化计算，设 ℓ = g。同时假设摆锤从静止开始摆动，即 θ'(0) = 0。

以下是非线性方程和线性方程解的图像。

显然，非线性方程的解具有更长的周期——实际上比线性情况长 7.32%。（上述近似方法估计的结果为 7.46%。）

下面是比较非线性方程解与周期拉伸 7.32% 后的线性方程解的图像。

两种解之间的差异小于绘图线条的宽度，肉眼几乎无法察觉。但我们可以通过两解之差来观察其差别。

以下是非线性方程和线性方程解的图像。

相关文章

[1] 单摆的周期取决于其长度 ℓ，因此我们可以认为非线性项实际上是用一个更长的有效长度 ℓeff 替换了 ℓ。