正弦波的缩放、拉伸与位移Scaling, stretching and shifting sinusoids

这是关于如何调整标准正弦波以改变其振幅、频率和相位偏移的简要而简单的[1]解释。更准确地说，给定一般函数：

我们将看到调整参数 、 和 如何影响 的形状。以下每个部分从数学角度分别讲解这些方面，你可以使用底部的演示来直观地实验这些概念。

缩放在概念上是最简单的变化；我们通过调整 来增加或减小 的振幅（最大高度）。将 设为 会使 的值在原函数的基础上正负方向都扩大一倍。

拉伸

拉伸改变了 的频率，频率与其周期成反比。基准函数 的周期为 ，意味着它每 重复一次。换句话说，对于任意 ，都有 。

如果我们设置 ，就会得到 。这个函数比 快两倍地重复自身，因为 在输入正弦波之前被乘以了 2。当 变化 时，正弦波的输入变化 。因此， 的周期是 ， 的周期是 ，依此类推。[2]

更一般地， 的周期是 。请尝试下方的演示，通过改变 并观察波形的变化来直观理解这一点。

如果已知我们想要的周期 ，我们可以轻松计算出对应的 ：

平移

我们要讨论的最后一个参数是 ；它被称为正弦波的相位。在基准函数 中， 。正弦波在 时为 0，在 达到正峰值，在 再次穿过 0，在 达到负峰值，并在 回到起始位置，开始新一轮重复。

通过添加一个非零的 ，我们不会改变正弦波的振幅或频率，但会使其沿 轴向左或向右移动。例如，假设我们使用函数 且 。那么当 时，有 ，所以正弦波此时已处于正峰值；当 时，正弦波穿过 0 进入负值，等等。所有事件都比基准正弦波提前发生（提前量正好等于 的值）。换句话说，我们将函数向左平移了 。类似地，当 为负数时，所有事件都延后发生，函数则向右平移。

综合来看

现在我们已经涵盖了该函数的所有参数：

使用下方的演示来调整这些参数，并观察它们对正弦波的影响：

A ω θ