计算曲率的数学方法解析Calculating curvature

曲率概念上很简单，但通常难以计算。对于水平集曲线 f(x, y) = c（如前几篇文章所述），其曲率的计算公式为

即使 f 的表达式相当简单，κ 的表达式也可能很复杂。

如果我们定义

那么当 c = -4 时，f(x, y) = c 的水平集是一个等边三角形；当 -4 < c < 0 时，水平集是平滑化的三角形。

这些水平集在任一点的曲率由下式给出：

简化

但有一种情况可以很容易地计算曲率：对于函数 g(x) = y 的图像，只要一阶导数较小，其曲率近似等于 g 的二阶导数的绝对值。

在 g(x) 的局部极大值或极小值处，由于一阶导数为零，该近似是精确的。

平滑三角形的最大和最小曲率

这意味着在上例中，我们可以计算水平集的最大和最小曲率。最大曲率出现在角点，最小曲率出现在边的中点。由对称性可知共有三个极大值和三个极小值，为方便起见，我们取 x = 0 对应的那些点。此时曲率简化为

当 x = 0 时，有

因此，最大和最小曲率是 y 的三次方程在区间 [-1, 2] 内的两个根（另一个根大于 2）。

例如，当 c = -3 时，根分别为 0.8794、1.3473 和 2.5321。第一个根对应最小曲率，第二个对应最大曲率，第三个超出我们的关注区域。由此可得最小曲率为 0.7237，最大曲率为 14.0838。

当 c = -1 时，最小和最大曲率分别为 2.80747 和 9.91622。

由于 c = -4 对应三角形本身，此时最小曲率为 0，最大曲率为无穷大。随着 c 增大，最小和最大曲率逐渐接近，因为水平集变得越来越圆。