Pythagorean AdditionPythagorean Addition

简而言之：与其费力地计算 \(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)，不如用“最大加最小”算法（alpha-max plus beta-min algorithm）进行心算估算。

\[\hat{c} = \mathrm{max}\left(a, 0.9a + 0.5b \right)\]

这样得到的 \(\hat{c}\) 会非常接近真实的 \(c\)。这在累加方差来源、求半径或其他类似情况时非常有用。

背景

数学关系 \(c^2 = a^2 + b^2\) 的出现频率出人意料地高。它出现在以下多个领域中：

当这个公式出现时，通常是因为其中一个变量未知，即我们需要求解的是：

麻烦之处在于，即使擅长估算平方和平方根（例如因之前练习过对数），这些运算在心中仍然难以完成——因为平方会使数值迅速变大。

顿悟

我灵光一现。也许问题在于将其视为三个独立操作（平方、相加、开方）。如果我们换个思路，把它看作一个基本的复合运算呢？我们可以称之为 \(⊞\)（Unicode 名称恰如其分：squared plus），并定义为：

\[a ⊞ b = \sqrt{a^2 + b^2}\]

然后我们就可以通过间隔重复训练自己心算这个运算，就像学习乘法表或对数一样。这样一来，我们再也不用为这类问题烦恼了！给定两个以标准差为单位测量的变异源，我们就能立刻知道总变异量——同样以标准差表示。这会更加直观。

唯一的问题是我们还得学会它的逆运算：

\[c ⊟ b = \sqrt{c^2 - b^2}\]

⊞ 运算应该不难掌握，因为其等高线呈从原点向外辐射的同心圆；而 ⊟ 运算可能较难，因为其等高线是形状奇特的圆锥曲线。

前人已有研究

看来我不是第一个想到这个问题的人。早在 20 世纪 80 年代初，IBM 就有一篇论文提出了一种让计算机高效逼近 ⊞ 运算的方法。11 Moler & Morrison 的《Replacing Square Roots by Pythagorean Sums》发表于 IBM Journal of Research and Development，1981年。这个方法非常巧妙：给定一点 (x,y)，作者找到一种方法沿圆半径方向将该点向横轴方向推移，当纵坐标足够小时，横坐标即为半径。然而这类迭代算法不太适合心算。22 我听说有人能在脑中运行几次牛顿-拉夫逊法来改进近似值。我也想成为那样的人，但我还不行。

不过，作为人类其实有更简便的方法来估算 \(a ⊞ b\)。假设 \(a\) 是较大的数（如果不是，则交换两者）：

这是一种估算，确实存在误差，但最坏情况下误差仅为 3%，平均误差仅 1.5%。对于一个如此简单的步骤来说，这已经非常惊人了。需要说明的是，我们只是把较大数缩小十分之一，再加上较小数的一半，结果竟然非常接近它们平方和的平方根！

这种方法之所以被称为 alpha-max plus beta-min，是因为虽然我们使用了 α=0.9 和 β=0.5，这只是为了便于心算，但其他参数也是存在的，其中一些甚至略微更精确。

逆运算

这个算法的另一个好处是它很容易进行逆运算。如果我们只知道总和 c 以及其中一项 b，就可以通过减法求出另一项：

\[\hat{a} = 2 \left( c - 0.9b \right)\]

或者

\[\hat{a} = 1.11 \left( c - 0.5b \right)\]

具体使用哪一个公式，取决于我们已知的是较小项还是较大项。

示例

举个例子说明如何使用这个方法：假设我们知道男性平均比女性高 12 cm。那么，在性别已知的情况下，一个人的平均身高可以看作是一个抛硬币的结果——要么 +6 cm，要么 −6 cm，因此标准差为 6 cm。同时，我们还知道男性和女性各自群体内的身高标准差约为 7 cm。

那么，综合考虑男女两性的总体身高变异度应为：

\[0.9 \times 7 + 0.5 \times 6 =\] \[= 6.3 + 3 = 9.3\]

而如果我们真的在全球随机抽样测量人们的身高，得到的标准差确实会接近这个数值。这太酷了！我原本没想到自己居然能“心算”方差来源的合成。