近似马尔可夫方程Approximating Markov’s equation

马尔可夫数是满足以下方程的整数解：

x² + y² + z² = 3xyz。

关于马尔可夫数的维基百科文章提到，唐·扎吉尔通过研究近似方程

x² + y² + z² = 3xyz + 4/9

来研究马尔可夫数，该方程等价于

f(x) + f(y) = f(z)

其中 f(t) 定义为 arccosh(3t/2)。我不太清楚这两个方程为何等价，因此写下这篇帖子来说明它们确实是等价的。

示例

在证明扎吉尔的两个方程等价之前，我们先看一个例子，说明他的第二个方程的解如何逼近马尔可夫方程的解。

以下代码验证 (5, 13, 194) 是马尔可夫方程的一个解。

x, y, z = 5, 13, 194
assert(x**2 + y**2 + z**2 == 3*x*y*z)

沿用上述的 x 和 y，我们来计算扎吉尔第二个方程中的 z 值，看它是否接近上面的 z。

from math import cosh, acosh

f = lambda t: acosh(3*t/2)
g = lambda t: cosh(t)*2/3
z = g(f(x) + f(y))
print(z)

得到 z = 194.0023，这与上面马尔可夫三元组中的 z 值非常接近。

应用奥斯本法则（Osborn’s rule）

现在假设

f(x) + f(y) = f(z)

展开后为

arccosh(3x/2) + arccosh(3y/2) = arccosh(3z/2)。

两边同时取 cosh 似乎是合理的。那么，cosh 的和是否有恒等式？也许你记得余弦和的公式：

cos(a + b) = cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b)。

而奥斯本法则指出对应的双曲恒等式为

cosh(a + b) = cosh(a)cosh(b) − sinh(a)sinh(b)。

奥斯本法则还说，与熟知的恒等式

sin²(a) + cos²(a) = 1

对应的双曲恒等式是

sinh²(a) = cosh²(a) − 1。

利用这两个双曲恒等式，我们可以推导出 [1]

cosh(arccosh(a) + arccosh(b)) = ab + √(a² − 1)√(b² − 1)。

详细推导

上面推导出的恒等式正是我们化简为常规代数运算所需的工具。

若

arccosh(3x/2) + arccosh(3y/2) = arccosh(3z/2)

则

(3x/2)(3y/2) + √((3x/2)² − 1)√((3y/2)² − 1) = 3z/2

化简后即得扎吉尔的方程

x² + y² + z² = 3xyz + 4/9。

相关帖子

[1] 该恒等式至少在 x > 1 且 y > 1 时成立，这对本文已足够。更一般的论证会因分支切割问题而变得复杂。