x² − 1 的平方根Square root of x² − 1

我们该如何定义√(z² − 1)？你可以先对 z 平方，再减 1，然后取平方根。除此之外还能怎么做？！

这个问题其实比表面看起来更微妙。

当 x 是非负实数时，√x 被定义为平方等于 x 的非负实数；而当 x 是复数时，√x 是通过解析延拓将实轴上的平方根函数扩展到复平面上的一个函数。但我们无法将 √x 作为解析函数延拓到整个复平面 ℂ。因此必须选择一个“分支切割”的位置，通常的做法是沿负实轴进行切割。

使用主值分支

平方根函数的“主值分支”是指唯一能将 √x 从正实数解析延拓到 ℂ \ (−∞, 0] 的函数。

现在假设我们把 √x 理解为平方根函数的主值分支。那么 √(z² − 1) 是什么意思呢？它可能就是指我们在文章开头所说的：先计算 z² − 1，再应用（主值分支的）平方根函数。但如果这样做，就必须排除那些使得 z² − 1 为负值的 z。这意味着我们需要挖掉虚轴和区间 [−1, 1]。

这正是 Mathematica 在计算 Sqrt[z^2 - 1] 时所采用的方式。

ComplexPlot[Sqrt[z^2 - 1], {z, -2 - 2 I, 2 + 2 I}]

通过颜色的突变可以清晰地看出分支切割的存在。

另一种方法

现在我们换一种思路。把 √(z² − 1) 看作一个整体函数。不要像上面那样把它理解成一系列操作步骤（比如先平方 z 等），而是把它当作一个黑箱——输入 z，输出一个平方后等于 z² − 1 的复数。

这个函数在 z > 1 时有明确的定义，并且可以通过解析延拓将其推广到更大的复平面区域。这次我们不是通过扩展平方根函数来实现，而是直接对 √(z² − 1) 进行延拓。但和之前一样，我们仍无法将其解析地延拓到整个 ℂ，必须挖掉某些部分。一个常见的选择是挖掉区间 [−1, 1]，这样就不再需要在虚轴上设置分支切割。

函数

以我们希望的方式（见[1]）将 √(z² − 1) 进行了延拓。

Mathematica 代码

ComplexPlot[Exp[(1/2) (Log[z - 1 ] + Log[z + 1])], {z, -2 - 2 I, 2 + 2 I}]

显示我们的函数现在在虚轴上是连续的，尽管当你穿过 [−1, 1] 时仍然存在不连续性。

在前一篇文章中，我们使用了 √(z² − 1) 的这个解析延拓来消除某个恒等式中的分支切割。

相关文章

[1] 对数函数的主值分支在负实轴上有切割。为什么我们用对数定义的平方根函数没有在负轴上设置分支切割？

首先，log 函数以及 Mathematica 中的 Log[] 函数在 (−∞, 1) 上并不是无定义的，只是在那里不连续。该函数仍有取值，按惯例取的是从上方趋近 z 时的极限值，即从第二象限趋近。

其次，当分别从上方和下方趋近于小于 −1 的值 z 时，(log(z – 1) + log(z + 1))/2 的值会相差一个因子 2πi。但在取指数后这个因子就消失了。因此尽管其定义中包含的对数函数本身不解析，我们的函数 f(z) 却在 (−∞, 1) 上仍然是解析的。