基于实部构建复函数：从正弦到初等函数Building complex functions out of real parts
文章扩展了前文的方法，展示如何用实变量函数（如 sin、cos）的组合计算任意复数的初等函数（如指数、对数）。虽然部分公式比基础案例更复杂，但所有基本复函数均可通过实函数实现。例如，复正弦函数可表示为实部与虚部的组合。这一方法避免了直接处理复数运算，提升了计算效率。
John
几个月前，我写过如何用仅含实变量的实函数通过以下方程计算复数的正弦和余弦：
所有初等函数均可类似处理，尽管部分方程比上述复杂得多。具体方程可参见此处。
这些方程源自 Henry G. Baker 的论文（链接页面已引用）。我将 Baker 的方程用 LaTeX 整理后，再用 ChatGPT 从 LaTeX 生成 Python 代码，用于数值验证方程及我的排版结果，从而发现了几处笔误。
测试代码在四个象限的点代入方程，结果均与 NumPy 一致，表明 Baker 和 NumPy 对反函数的支割线定义相同。
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本文是持续数天的讨论帖的一部分；或许是最后一篇，且看后续发展。
一切始于关于马尔可夫方程的帖子：
x² + y² + z² = 3xyz
以及一个存在闭式解的近似方程。由此引出恒等式：
cosh( arccosh(a) + arccosh(b) ) = ab + √(a² − 1) √(b² − 1)
马尔可夫方程的近似仅需该恒等式对大于 1 的实数 a、b 成立。但进一步分析发现，平方根主值分支下恒等式存在支割线问题。若将 √(z² − 1) 的支割线定义为 [−1, 1]，则方程在整个复平面成立。这促使我撰写了关于如何通过对数定义所有基本反函数的笔记。
有读者建议我查阅一篇提及“couth”与“uncouth”函数对的论文，最终引出了本篇及热身内容。
我认为这些内容很有趣，因为它揭示了微积分课程中潜伏的深层问题——像 arccos 这样的函数究竟意味着什么？为何以当前方式定义？这些问题既深刻又有趣，但因教学时间有限而被搁置实属无奈。微积分需覆盖大量基础内容，无暇细究细节。我最喜欢的文章之一正是从容回溯学生时代一闪而过的精妙之处。
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