贝塞尔先生同名函数的故事Mr. Bessel’s eponymous functions

昨天我写了一篇文章，展示了梯形法则计算积分

非常高效。但是我们如何知道用于比较的精确积分值是多少呢？如果你去问 Mathematica，它会告诉你这个积分等于 −2π J1(1)，其中 J1 是 Bessel 函数。这可能看起来像变魔术一样，但考虑到 Bessel 函数的积分定义，这其实是个简单的计算：

由于余弦函数是偶函数，我们可以将在 [−π, π] 上的积分写成在 [0, π] 上的积分的两倍。然后，通过变量代换，这就会变成 n = 1 且 z = 1 时的 Jn(z) 的定义。

一个更深层次的问题是，我们仅仅给本质上与最初相同的问题起了一个新名字，这到底有什么意义呢？另一个问题是，Bessel 函数究竟为什么要像上面那样定义。

至于我们取得了什么成果，我们已经将这个积分问题与一个被充分研究的函数联系起来了。Bessel 函数已经被研究了两个世纪，很容易找到用于计算它们的软件。即使是通常极其简化的命令行计算器 bc，都有一个函数 j(x, n) 用于在 n 为整数时计算 Jn(x)。我们可以像下面这样将我们的积分计算到小数点后 50 位。

~$ bc -l
>>> scale = 50
>>>  -8*a(1)*j(1,1)
-2.76491937476833705153256665538788207487495025542883

需要注意的是，bc 并没有内置 π 的值，但 a(x) 可以计算反正切函数，而 π = 4 arctan(1)。

定义 Bessel 函数有多种方式。三种主要方式分别是通过其幂级数、通过它们所满足的微分方程，以及通过其积分表示来定义。Friedrich Bessel 正是根据积分表示，定义了我们现在所说的第一类 Bessel 函数，即 Jn 函数。

为什么 Bessel 会关注这些积分呢？这是出于他在天体力学方面的计算。其中一个例子就是用 Fourier 级数求解开普勒方程；其 Fourier 系数由 Bessel 函数给出。在 Bessel 先生引起人们对它们的注意并进行系统研究之前，Bessel 函数就已经出现在实际应用中了。

数学是归纳发展的，却是演绎教学的。常见的情况是，某些概念被反复探讨多年后，才有人决定赋予它们一个名称并进行系统研究。关于中心极限定理的这篇文章就是另一个例子。CLT 的历史比 Gaussian 分布还要悠久，甚至比 Gauss 本人还要早。

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