勾股三角形的内切圆与外切圆Incircles and Excircles of Pythagorean triangles

这篇文章将揭示我之前两篇博文之间的联系：一篇关于 Star Trek 引理，另一篇关于勾股数。

在写后一篇文章的过程中，我查阅了维基百科上关于勾股数的词条，并注意到了这段有趣的文字。

在每个毕达哥拉斯三角形中，内切圆半径和三个旁切圆的半径都是正整数。具体来说，对于本原三元组，内切圆半径为 r = n(m − n)，而与边 m2 − n2、2mn 以及斜边 m2 + n2 相对的旁切圆半径分别为 m(m − n)、n(m + n) 和 m(m + n)。

上述段落的引用来源是我以前的同办公室同事所写的书，这也引出了关于 Star Trek 引理的那篇博文。维基百科所引用的 Arthur Baragar 书中的段落是练习题 15.3。

设 ΔABC 为边长为整数的直角三角形。证明其内切圆半径 r 和旁切圆半径 ra、rb、rc 均为整数。

我不知道 Arthur 是否发现了这个定理，但在本文中我将称其为 Baragar 定理。

为了详细解释 Baragar 定理，我们先来介绍一下什么是内切圆和旁切圆。内切圆相对更广为人知。三角形的内切圆是能够内接于该三角形内部的最大圆，这个圆的半径就是内切圆半径。

既然内切圆是一个内接的圆，你可能以为旁切圆就是一个外接圆，但事实并非如此。一个三角形有三个旁切圆，每条边对应一个。要找到某条边的旁切圆，需要延长另外两条边，然后找到与该边及两条延长线相切的圆。旁切圆的半径即为其旁切圆半径。

证明

Baragar 定理可以直接由前一篇博文中提到的欧几里得勾股数公式推导得出

以及内切圆半径 r 和旁切圆半径 ra、rb、rc 的公式。

这里 K 是三角形的面积，在我们的例子中为 ab/2，s 是半周长，即周长的一半。

用 m 和 n 表示这些半径，就能得到上面维基百科中所引用的值。

图示该定理

我想编写一个 Python 脚本来演示该定理，了解圆的半径会有所帮助，但我们还需要知道这些圆的圆心位置。

内切圆的圆心是各个顶点的加权平均值，其权重由对边的长度决定。也就是说，如果顶点为 A、B 和 C，与这些顶点相对的边分别为 a、b 和 c，那么内切圆圆心为

旁切圆圆心的表达式惊人地相似。对于与某个顶点相对的圆的圆心，只需将对应边的符号取反即可。

Python 代码

将所有内容组合起来，下面是该定理的一个图示。

这是生成该图的代码。请注意，本节中的所有内容适用于一般的直角三角形，而不仅限于毕达哥拉斯三角形。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def connect(A, B):
    plt.plot([A[0], B[0]], [A[1], B[1]], "C0")

def draw_circle(c, r, color):
    t = np.linspace(0, 2*np.pi)
    plt.plot(r*np.cos(t) + c[0], r*np.sin(t) + c[1], color=color)

a, b, c, = 3, 4, 5

A = np.array([0, b])
B = np.array([-a, 0])
C = np.array([0, 0])

s = (a + b + c)/2
K = a*b/2
r = K/s
ra = K/(s - a)
rb = K/(s - b)
rc = K/(s - c)
I = (a*A + b*B + c*C)/(a + b + c)
Ia = (-a*A + b*B + c*C)/(-a + b + c)
Ib = (a*A - b*B + c*C)/(a - b + c)
Ic = (a*A + b*B - c*C)/(a + b - c)

draw_circle(I, r, "C1")
draw_circle(Ia, ra, "C2")
draw_circle(Ib, rb, "C3")
draw_circle(Ic, rc, "C4")

plt.plot([-2*rc, 2*rb], [0, 0], "C0")
plt.plot([0, 0], [-2*ra, 2*rc], "C0")
plt.plot([(-2*ra - b)*a/b, 2*rb], [-2*ra, 2*rb*b/a + b], "C0")

plt.gca().set_aspect("equal")
plt.show()