重现几何定理图表Reproducing a geometry theorem diagram

我偶然看到一个几何定理，附有如下图形。

对应该图的定理很有趣，但我发现复现这个图更有趣。

线段 AB 是一条直径，直线 CD 垂直于该直径。

假设外圆是一个单位圆。我猜测 C = (cos(1), sin(1))，并绘制了下图。

我是通过目测猜测 C 的值的，但回想起来，这可能是原图创作者为了方便而选择的一个值。

利用本文给出的圆心和半径方程，绘制三角形的内切蓝圆很容易。绘制另外两个圆（绿圆和橙圆）则比较困难。它们也是内切圆，但并非内切于三角形。它们内切于一个具有两条垂直边和一条圆弧的三边形。

绿圆的半径 r 是从圆心到其各切线的距离。此外，从原点到圆心的距离必须为 1 − r。这就足以建立一个关于 r 的二次方程。同样的推理也适用于橙圆。

原图来自文献 [1]，其阐述的定理指出：蓝圆的直径等于绿圆和橙圆的半径之和。

Python 代码

如果你感兴趣，这是绘制该图的代码。

#!/usr/bin/env -S uv run --script

# /// script
# dependencies = ["numpy", "matplotlib"]
# ///

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def connect(A, B, color='gray'):
    plt.plot([A[0], B[0]], [A[1], B[1]], color=color, linewidth=2)

def circle(c, r, color='gray'):
    t = np.linspace(0, 2*np.pi)
    plt.plot(c[0] + r*np.cos(t), c[1] + r*np.sin(t), color=color, linewidth=2)

def quadratic(a, b, c):
    det = b**2 - 4*a*c
    return ((-b - det**0.5)/(2*a), (-b + det**0.5)/(2*a))

A = np.array([-1, 0])
B = np.array([ 1, 0])
C = np.array([np.cos(1), np.sin(1)])
a = np.linalg.norm(B - C)
b = np.linalg.norm(A - C)
c = np.linalg.norm(B - A)
s = (a + b + c)/2

circle([0,0], 1)
connect(A, B,)
connect(A, C)
connect(C, B)
connect(C, C*np.array([1, -1]))

center = (a*A + b*B + c*C)/(2*s)
radius = 0.5*a*b/s
circle(center, radius, 'C0')

Ex = C[0]
roots = quadratic(1, 2 + 2*Ex, Ex**2 - 1)
r = roots[1] # Smaller root is negaive
print(roots)
center = (r + Ex, -r)
circle(center, r, 'C1')

roots = quadratic(1, 2 - 2*Ex, Ex**2 - 1)
r = roots[1] # Smaller root is negaive
center = (Ex - r, -r)
circle(center, r, 'C2')

plt.gca().set_aspect("equal")
plt.axis("off")
plt.show()

[1] Leon Bankoff. A Geometrical Coincidence. Mathematics Magazine, Vol. 37, No. 5 (Nov., 1964), p. 324.