Dot product: Component vs. Geometric definitionDot product: Component vs. Geometric definition

本文旨在回答一个简单的问题：为什么欧几里得空间 [1] 中向量点积的以下两种定义对于向量和是等价的：

以下是向量的图示（为了清晰起见，这里以为例，但这同样适用于任意维度的向量）。图中展示了向量的分量以及它们之间的夹角。箭头的长度为。

我们将在此展示两种等价性证明：几何证明和投影证明。附录描述了点积的一些有助于这些证明的性质。

几何证明

我们将使用以下向量和以及向量的图示：

对这三个向量构成的三角形使用余弦定理 [2]：

由于对于任意向量，我们有（见附录），我们将该等式改写为：

但是，且点积满足分配律（见附录）。因此：

投影证明

在此证明中，我们将假设几何定义是正确的，并看看它如何推导出分量定义。我们首先将向量记为的标准正交基。例如，在二维空间中，这些基向量为和，如下图所示：

如果我们取一个任意的并计算它与某个基向量的点积，我们可以使用几何定义：

其中是在方向上的分量。从基础三角学很容易在图中看出为什么这是成立的，但在更一般的情况下，这只是一个向量投影。

现在让我们将向量和表示为基向量的线性组合：

并计算点积，首先用基向量的线性组合表示来重写：

利用点积对线性组合满足分配律这一事实：

但我们前面已经证明了。因此：

这就是分量定义。

附录 A：内积空间

中点积的推广是内积，它是在向量空间上定义的一种满足某些特定要求的运算。

内积记为，并且对于所有向量和标量必须满足以下要求：

对于，我们将内积运算的分量形式定义为：

让我们证明该运算满足上述要求；鉴于标量乘法和加法在上众所周知的性质，这相当简单：

对称性：

对第一个变量的线性：

正定性：

考虑向量的分量。显然，。由于向量不是零向量，它的至少一个分量不为零，且对于该分量。因此：

既然我们已经证明了我们的运算满足所有内积要求，我们可以说带有此运算的是一个内积空间。

通过满足这些要求，可以很容易地证明我们的内积运算具有其他有用的性质：

第三个性质特别有用，因为它意味着内积是双线性的，因此对加法满足分配律。

请注意，这些是针对点积的分量定义证明的。利用投影及其相加的概念，证明几何定义的分配律也不难。

范数

内积空间中向量的范数定义为。因此，范数的平方为。

范数用于表示向量的大小或长度的概念。如果你考虑笛卡尔坐标系中的向量，那么范数的定义就是勾股定理的推广。