傅里叶变换笔记Notes on the Fourier Transform

傅里叶级数是分析周期函数的绝佳工具。但对于不重复的函数呢？我们已经看到，只要不关心函数在该区间之外的行为，我们就可以为定义在有限区间上的非周期函数计算傅里叶级数。

让我们把这个想法扩展到从不重复的函数；也就是定义在区间 上的非周期函数。

非重复函数的傅里叶级数可视化

为了引出接下来的主题，让我们回顾一下之前关于傅里叶级数的文章中使用的例子：

通过奇延拓到 。在那篇文章中，为了让傅里叶级数起作用，我们假设 在整个 轴上以周期 不断重复。在这里，让我们面对它实际上并不重复的现实，并观察我们的傅里叶级数是如何运作的。

回想一下，逼近 的傅里叶级数是正弦级数（因为它是奇函数）：

下面的可视化是交互式的。默认情况下，它显示 （带有其奇延拓）且没有傅里叶级数逼近。我们将通过一系列步骤进行操作并观察结果：

n（傅里叶级数中的项数）

L

x 最小值

x 最大值

步骤 1：将 设置为某个非零数字；在 3 时，逼近效果就已经非常好了。

频率间隔为 （这是正弦函数中 的系数）。请注意，正如预期的那样，傅里叶级数每 重复一次。

步骤 2：将 增加到 6。这意味着我们的级数是在假设 的周期为 12 而不是 4 的情况下构造的。注意傅里叶级数现在的样子——它们每 12 重复一次，并且与 的匹配程度不如以前。我们可以将 增加到更高的数字以使匹配更好。随着 的增长，相邻频率之间的间隔减小。

步骤 3：将 增加到 10。我们不再看到重复，所以请随意增加 x 最小值和 x 最大值的值，直到你看到重复为止。再次注意，我们需要添加越来越多的系数才能在这个更大的 下更好地匹配 ，并且相邻频率的间隔变得更小。

增加 意味着我们的函数在越来越大的区间上重复。这种递进的逻辑结论是问——如果函数从不重复，即 ，会发生什么？虽然这在数学上并不严谨，但这里的视觉实验让我们可以做出一些猜想：我们可能需要无限多个系数才能得到良好的逼近，而且，这些系数之间的间隔将趋于零。

换句话说，我们将得到一条连续的线或函数，而不是离散的系数集。通过这个过程产生的函数就是 的傅里叶变换，下一节将展示其数学推导。

由 的傅里叶级数推导傅里叶变换

在这些笔记中，我们将使用傅里叶级数的复指数形式：

其中：

我们对定义在区间 上的非周期 感兴趣。因此，我们将针对 探讨上述方程。

首先，让我们对符号做一点微调。我们将使用第 n 次谐波角频率 ，而不是用周期 () 来表示公式：

因此，我们可以将级数稍微改写为：

使用 作为两个连续频率之间的差值：

使用这种符号， 可以表示为：

到目前为止，这里没有新的见解，只是一些新的符号。现在我们将用它来促进下一步。

由于 ，所以 。让我们计算当 时 的傅里叶级数表示的极限：

并将最新的 代入此方程，将其虚拟积分变量从 改为 以避免混淆 [1]

稍微重新排列，并在复指数中将 替换为 ：

仔细观察带有求和的极限，这是一个黎曼和（见附录 A）！ 是 的“采样”版本，且 。因此我们可以用积分来替换它，将 变为 ，将 变为 [2]：

内部的积分被称为 的傅里叶变换，记为 [3]：

因此， 的完整方程就是逆傅里叶变换：

傅里叶变换的计算示例

让我们以最喜欢的奇三角脉冲为例，计算它的傅里叶变换。该函数的数学定义和图像在本文前面已经展示过。请注意，我们并没有对这个函数进行周期延拓——它在 范围之外为零；这正是我们在这里需要傅里叶变换的原因——正如我们所见，傅里叶级数行不通，因为它们重建的函数最终会开始重复。

我们要寻找的是：

为了计算这个积分，让我们使用欧拉公式分解复指数：

由于我们的 是奇函数，第一个积分为零。此外 是偶函数，所以我们可以写成：

我们在关于傅里叶级数的文章中已经计算过非常相似的积分，所以这里我们直接跳到结果：

唯一剩下的难点是它在 0 处的值，乍看之下似乎是未定义的（除以零）。然而，请注意，当 时，分子也趋于 0，因此我们可以使用洛必达法则（两次！）得出：

因此：

这个函数是复数值的；事实上，它是纯虚数。我们该如何将其可视化呢？可视化复数值函数的一种常见方法是分别绘制它们的幅度和相位。

的幅度为：

由于 是纯虚数，相位只有两种可能：

当分子为正时，我们得到一个相位为 的负虚数；当分子为负时，我们得到一个相位为 的正虚数。最后，当 （根据我们之前的分析，这发生在 处，但也会在 是 的整数倍时发生）时，相位是未定义的。

这是 关于 的幅度和相位图：

通常将 称作 的频域表示。

函数的频域表示

当我们处理的函数以时间为定义域时（例如 中的 表示时间），这在信号与系统的研究中很常见，傅里叶变换可以看作是计算该函数的频域表示。

这里再次给出傅里叶变换公式：

它将 ——函数的时域表示——转换为 ——频域表示。对于性质良好的函数，这两种表示是对偶的——每一种都能完整地描述该函数，只是方式不同。

为了从频域表示转换回时域，我们使用逆傅里叶变换：

时域图 () 显示信号如何随时间变化，而频域图 () 显示信号在所有可能频率上的分布情况。此外，正如我们所见， 是复数值的。因此，每个频率都有幅度和相位：幅度告诉我们该频率的贡献有多强，而相位告诉我们该分量是如何偏移的。

频域在信号分析中极其有用；例如，在设计滤波器时。

傅里叶变换还具有许多在信号分析和处理中非常有用的性质。但首先，让我们讨论一下在应用傅里叶变换时“性质良好的函数”是什么意思。

傅里叶变换的存在条件

傅里叶变换最简单的存在条件是绝对可积性（也称为勒贝格可积）：

在此条件下， 在整个定义域上存在，是连续的，并且当 [4] 时趋于零。

虽然这个条件是充分的，但不是必要的；有些性质不那么好的函数在一定的限制下也能定义傅里叶变换。在这些笔记中，我们主要关注实际工程中使用的性质良好的函数，因此我们不会讨论其他情况。

对于实际中的函数，另一个常见的假设是它们在 时趋于零。虽然这不是绝对可积性 [5] 的直接结果，但它在工程中是一个合理的假设。毕竟，现实世界的信号具有有限的能量。

直观上，当我们还假设 是一致连续的，在 时趋于零的假设就是一个合乎逻辑的结论，因为否则 的总面积怎么会是有限的呢？

这一讨论的一个重要结论是傅里叶变换不适用于周期函数。以一定间隔重复的函数不是绝对可积的。对于周期函数，我们使用傅里叶级数。

傅里叶变换的一些有用性质

线性

傅里叶变换是一个线性算子，因为积分是线性的：

逆傅里叶变换也是如此；同样很容易证明：

尺度变换

如果我们用一个常数来缩放函数的定义域，它的变换只会发生轻微的变化：

让我们做变量代换 ：

这是在 处求值的傅里叶变换，所以：

这里有一个小注意事项；当 为负数时，积分上下限应该翻转，导致变换前面出现一个负号。所以我们可以写成：

这适用于任何 。

在考虑信号时，这个性质很直观：假设 ，那么 意味着信号在时域上被压缩了 倍。尺度变换性质表明频域也以相同的因子扩展；换句话说，高频成分变得更加突出，因为我们需要更尖锐的过渡来表示压缩后的信号。

时移

如果我们将输入信号时移一个常数： ，傅里叶变换会发生什么？根据定义：

代入 ，我们得到 ，所以：

导数的变换

这是一个在求解偏微分方程时经常使用的极其有用的性质；让我们计算 的导数的傅里叶变换：

我们将使用分部积分法，其中 和 。因此， 和 ：

回想一下在“存在条件……”一节中关于 在无穷远处趋于零的假设。因此，上面等式的第一部分为零，我们剩下：

卷积的变换

两个连续函数 和 之间的卷积定义为：

让我们计算这个函数的傅里叶变换：

将积分合并为二重积分的这一步，以及下一步（改变积分顺序），之所以可行，是因为富比尼定理以及我们关于 和 是勒贝格可积的假设。

交换积分顺序：

现在，内层积分中的 不依赖于 ，所以我们可以把它提出来：

内层积分就是时移后的 的傅里叶变换，所以我们可以写成：

剩下的积分就是 的傅里叶变换，所以：

时域中的卷积转化为频域中的乘法！这个结果在信号处理中如此重要，以至于被称为卷积定理。

附录 A：黎曼和与定积分

假设我们有一个函数 ，并且我们想知道在某个区间 内，该函数图像与 轴之间所围成的面积。实现这一目标的一种方法是对该区间进行划分：

并计算划分中每个元素在 下方的面积。然后，我们可以用矩形来近似这些子面积，如下所示：

我们将每个矩形的面积表示为 ：

选择区间 中的哪个点来表示 有很多种方法：左端点 ()、右端点 ()、两者之间的中点（即我们的图所示）或介于两者之间的任何点。正如我们稍后将看到的，这种区别对我们的目的来说并不重要。

我们可以使用均匀划分，通过黎曼和来近似 在区间 内曲线下方的面积：

如果 在 上连续，那么当 时：

这就是黎曼积分，或简称为定积分。极限的存在正是为什么 的具体选择无关紧要的原因：当 时，我们有 ，并且 内的所有点都是等效的。