局部处处成立并不意味着处处成立Locally everywhere does not imply everywhere

几天前，在 Anthropic 工作的数学家 Levent Alpöge 使用 Claude Fable 5 发现了雅可比猜想（Jacobian conjecture）的一个反例。

我很好奇大多数数学家是试图证明还是证伪这个猜想，所以我问了 Claude。

在找到雅可比猜想的反例之前，大多数数学家认为它是正确的还是错误的？

Claude 的回答是

这个问题的前提并不完全正确——目前还没有找到雅可比猜想的反例。它仍然是数学界的一个未解问题：没有人证明它为真，也没有人找到证伪它的反例。……如果你遇到了声称找到反例的说法，你有来源吗？我很乐意去查证一下，因为如果属实，那将是代数几何领域的一项重大成果。

当然，Claude 并不知道它解决了这个猜想。它甚至根本没有解决这个猜想。它只是数学家手中的一个无生命工具，就像一支粉笔或一支白板笔一样。

Claude 回答的中间部分提到，数学家们对这个猜想是否成立存在（或曾经存在）分歧。因此，它不像黎曼猜想（Riemann hypothesis）那样大多数人相信其为真，也不像 P = NP 猜想那样大多数人相信其为假。

那么什么是雅可比猜想呢？它指出，一个从 ℝn 到 ℝn 且具有常数非零雅可比行列式的多项式函数，必定存在多项式逆函数。（该猜想最初是针对特征为 0 的域更一般地提出的，在这种情况下，定义雅可比的导数必须用代数方法来定义，而不是用极限来定义。）

Alpöge 提出了一个反例，一个从 ℝ³ 到 ℝ³ 且雅可比行列式恒为 −2 的多项式函数。该函数为

证明该行列式处处等于 −2 是一个繁琐但简单的微积分练习。反函数定理指出，在雅可比行列式不为零的任何点上，函数都是局部可逆的，因此 Alpöge 的函数处处局部可逆。

然而，该函数会多次取到某些值。例如，(0, 0, −1/4) 和 (1, −3/2, 13/2) 都映射到 (−1/4, 0, 0)。因此，该函数在全局上不可逆。所以，这个函数不仅没有多项式逆函数，即使允许使用非多项式函数，它也没有逆函数。

Alpöge 的反例证伪了 n = 3 时的雅可比猜想。通过将三个变量定义为 Alpöge 的函数，其余变量定义为恒等函数，可以轻松将其扩展到所有 n > 3 的情况。对于 n = 2，该猜想仍然悬而未决。